Bài giảng môn toán rời rạc discrete mathematics, bài giảng toán rời rạc buổi 1

Toán học rời rạc (tiếng Anh: discrete mathematics) là tên chung của nhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp cấu trúc, đối tượng rời rạc, các ngành này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoa học máy tính làm thành cơ sở toán học của khoa học máy tính.

Bạn đang xem: Bài giảng môn toán rời rạc

1 Bài giảng
Toán rời rạc 2 LỜI NÓI ĐẦU Toán học rời rạc (tiếng Anh: discrete mathematics) là tên chung củanhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp cấu trúc, đốitượng rời rạc, các ngành này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoa học máytính làm thành cơ sở toán học của khoa học máy tính. Nó còn được gọi làtoán học dành cho máy tính. Người ta thường kể đến trong toán học rời rạclý thuyết tổ hợp, lý thuyết đồ thị, lý thuyết độ phức tạp, đại số Boole. Một quan điểm rộng rãi hơn, gộp tất cả các ngành toán học làm việc vớicác tập hữu hạn hoặc đếm được vào toán học rời rạc như số học modulo m,lý thuyết nhóm hữu hạn, lý thuyết mật mã, … Trong các cấu trúc, đối tường rời rạc không có một cấu trúc nào là cơbản thực sự, bởi vì hầu hết cấu trúc có thể được định nghĩa thông qua hầunhư bất kỳ các kiểu khác. Do vậy, trong modul này, nội dung sẽ trình bàynhững cấu trúc cơ bản và quan trọng nhất. Điều này cũng đúng với vị trí củamodul (vì người học sẽ tiếp cận modul Toán rời rạc 2 nói về lý thuyết đồ thịcũng như về ngôn ngữ hình thức) Có thể nói toán học rời rạc là môn tiên quyết và hiệu quả nhất đểngười học nâng cao tư duy toán học trong phân tích, thiết kế thuật toán vàrèn luyện kỹ năng lập trình với những thuật toán phức tạp. Không những thếnó còn là “cửa ngõ” để người học có thể tiếp cận với rất nhiều modul trongkhoa học máy tính (như Chương trình dịch, lý thuyết tính toán, Trí tuệnhân tạo,…). Mặc dù đã rất cẩn trọng trong quá trình biên soạn, tuynhiên tài liệu không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Chúng tôirất mong được sự góp ý quí báu của tất cả đọc giả và các bạn đồng 3nghiệp. Mọi góp xin gửi về: Khoa Công nghệ Thông tin – Trường ĐHSPKTHưng Yên 4 BÀI 1: TỔNG QUAN MÔN HỌC 1.1. MỞ ĐẦU 1.1.1 Giới thiệu Toán học rời rạc ngày nay đã trở thành quen thuộc trong những năm gầnđây bởi những ứng dụng to lớn của nó trong các ngành tinh học. Toán học rờirạc là một ngành toán học giải quyết các đối tượng hay cấu trúc rời rạc. Đốitượng rời rạc là những đối tượng mà chúng có thể được phân biệt, phân táchra khỏi nhau để có thể đếm được. Số tự nhiên, số hữu tỉ (được coi như là tỉsố của 2 số tự nhiên), môtô, nhà, người, … là những đối tượng rời rạc. Mặtkhác số thực bao gồm số vô tỉ là không rời rạc (chúng ta biết rằng giữa haisố thực khác nhau luôn tồn tại một số thực khác chúng). Thuật ngữ “Toánhọc rời rạc ” cũng để phân biệt với “Toán học liên tục”. Trong khi các đốitượng rời rạc thường được coi như có sự liên quan mật thiết tới số tự nhiênthì các đối tượng liên tục là số thực Trong modul này, chúng ta sẽ nghiên cứunhững đối tượng rời rạc như số tự nhiên, mệnh đề, tập, quan hệ, hàm, đồ thị,hay lý thuyết số, …tất cả chúng đều rời rạc. Chúng ta sẽ học các khái niệm,tính chất và quan hệ giữa chúng với nhau và với các đối tượng khác. Một quan điểm rộng rãi hơn, gộp tất cả các ngành toán học làm việc vớicác tập hữu hạn hoặc đếm được vào toán học rời rạc như số học modulo m, lýthuyết nhóm hữu hạn, lý thuyết mật mã, … – Có thể nêu ra đây một vài ví dụ dùng tới toán học rời rạc: – Có bao nhiêu password hợp lệ cho một hệ thống máy tính ? – Có tồn tại một đường nối giữa 2 máy tính trong một mạng – Có bao nhiêu địa chỉ internet hợp lệ? – Đường đi ngắn nhất giữa 2 máy tính trong một mạng là gì? – Có bao nhiêu bước trong quá trình sắp xếp? – Có bao nhiêu mạch để cộng 2 số nguyên được thiết kế? – Khả năng trúng giải thưởng cho một vé số là bao nhiêu? – Cách tốt nhất để lập lịch 8 cuộc họp hội đồng các thành viên mà khôngcó bất kỳ sự cạnh tranh nào, giả thiết đưa ra là 1 vài người có tên trong hơn 1hội đồng. – Làm thế nào chúng ta có thể lập lịch tất cả các nhiệm vụ trong dự ánlớn này (giống như 1 dự án xây dựng hoặc dự án để bắt đầu đưa 1 sản phẩm 5mới ra thị trường). Sẽ có đủ số điện thoại để cung cấp tất cả điện thoại, máy fax, và điệnthoại di động trong cho Việt Nam? – Làm thể nào chúng ta có thể mô hình và phân tích 1 sự thay đổi dânsố, hoặc thay đổi lượng tiền trong một dự án đầu tư Modul sẽ học những cấu trúc rời rạc và các kỹ thuật để giải quyếtnhững vấn đề này. Vậy một câu hỏi đặt ra là : Toán rời rạc được dùng khi nào? Thực tếToán học rời rạc được dùng rất đa dạng trong nhiều chuyên ngành, lĩnh vực.Tuy nhiên, có thể thấy phần lớn nó được dùng khi liên quan tới: – Đếm các đối tượng – Xem xét quan hệ giữa những tập hữu hạn (hoặc đếm được) – Phân tích quá trình có số bước hữu hạn. – Cơ bản về tất cả những xử lý thông tin số: Những thao tác trên các cấutrúc rời rạc trong bộ nhớ. – Nó là ngôn ngữ cơ bản và là khái niệm nền tảng cho tất cả các lĩnhvực trong khoa học máy tính. – Các khái niệm rời rạc cũng được sử dụng rộng rãi trong toán học, kỹthuật, kinh tế, sinh học,… Đặc biệt toán học rời rạc là một công cụ tuyệt vời để suy luận logic. 1.2 TẠI SAO LẠI HỌC TOÁN RỜI RẠC Có một số lý do quan trọng để nghiên cứu Toán học rời rạc. Thứ nhất, thông qua modul này, người học có thể phát triển khả năngtoán học, đó là khả năng hiểu và tạo ra các chủ đề của toán học. Người họcsẽ vô cùng khó khăn để tiến xa trong ngành tin học mà không có những kiếnthức toán học này. Thứ hai, Toán học rời rạc cung cấp cơ sở toán học để mở ra cánh cửacho người học có thể tiếp tục với những modul cao hơn cho các khóa học củakhoa học máy tính, bao gồm: cấu trúc dữ liệu, thuật toán, lý thuyết cơ sở dữliệu, lý thuyết automat, ngôn ngữ hình thức, trình biên dịch, bảo mật máytính, thiết kế mạch máy tính, mạng máy tính và hệ điều hành, …sinh viên cóthể nhận thấy những khóa học trên vô cùng khó khăn nếu không có một cơ sởtoán học của modul Toán học rời rạc này. Toán học rời rạc là toán tính toán Khoa học máy tính hiện đại được xây dựng hầu hết dựa trên Toán họcrời rạc, đặc biệt là toán tập hợp và lý thuyết đồ thị. Điều này có nghĩa là: cácnhà lập trình máy tính và sinh viên muốn học các thuật toán cơ bản thì sẽ 6phải cần một nền tảng Toán học rời rạc chắc chắn. Bởi vậy, tại hầu hết cáctrường đại học, môn Toán học rời rạc là bắt buộc với sinh viên bậc đại học. Toán học rời rạc là toán thế giới thực Nhiều sinh viên than phiền về tính truyền thống của toán cấp 3 như: đạisố, đồ thị, lượng giác, và phần tương tự như vậy- câu hỏi đặt ra là: “học toáncấp 3 với nội dung truyền thống như vậy tốt ở điểm nào?” Một vài chủ đềtrừu tượng của toán học thường làm sinh viên sợ và không vượt qua được.Ngược lại, Toán học rời rạc , đặc biệt là toán đếm và xác suất, cho phép sinhviên ( kể cả h/s đang học cấp 3 – nhanh chóng tìm ra vấn đề quan trọng trong thế giới thực nhữngvấn đề khó nhưng lại rất thú vị). Toán học rời rạc dạy suy luận toán học và các kỹ thuật chứng minh Đại số thường dạy sinh viên nhớ chuỗi các công thức và thuật toán (ví dụ,công thức quadratic, các hệ thống phương trình tuyến tính..), và hình họcthường được dạy như là 1 chuỗi các bài tập áp dụng “định nghĩa – định lý –chứng minh”. Còn với Toán học rời rạc , sinh viên sẽ suy nghĩ linh hoạt và sáng tạo.Có các mối quan hệ giữa 1 vài công thức. Có 1 số khái niệm cơ bản để làmchủ và ứng dụng Toán học rời rạc trong nhiều cách khác nhau. Toán học rời rạc rất vui Nhiều sinh viên, đặc biêt là những sinh viên sáng dạ và năng động tìmra rằng đại số, hình học và thậm chí cả tích phân không gây thích thú. Hiếmkhi những chủ đề này gây thích thú như những chủ đề Toán học rời rạc .Khi chúng ta hỏi sinh viên về chủ đề mà họ thích, hầu hết đều nhận được trảlời là toán tập hợp hoặc lý thuyết số. (Khi chúng ta hỏi sinh viên về chủ đềmà ít gây thích thú với họ nhất, phần đa trả lời là “hình học”). Và thật đơngiản hầu hết sinh viên đều nhận ra rằng Toán học rời rạc nhiều niềm vui hơnđại số và hình học. 1.3 TOÁN HỌC RỜI RẠC NGHIÊN CỨU NHỮNG GÌ? Toán học rời rạc là tên chung của nhiều ngành toán học có đối tượngnghiên cứu là các tập hợp rời rạc, các ngành này được tập hợp lại từ khi xuấthiện khoa học máy tính làm thành cơ sở toán học của khoa học máy tính. Nó còn đượcgọi là toán học dành cho máy tính. Có thể nói toán học rời rạc ngày càng có tầm quan trọng trong nhiềungành khoa học máy tính cũng như trong công việc lập trình. Có nhiều kháiniệm của toán học được nghiên cứu trong Toán học rời rạc. Chúng ta có thể 7nhắc tới một số chủ đề trong Toán học rời rạc sau đây khi chúng đã được ápdụng rất nhiều trong khoa học máy tính: Algorithmics – Thuật toán, còn gọi là giải thuật, là một tập hợp hữuhạn của các chỉ thị hay phương cách được định nghĩa rõ ràng cho việc hoàntất một số sự việc từ một trạng thái ban đầu cho trước; khi các chỉ thị nàyđược áp dụng triệt để thì sẽ dẫn đến kết quả sau cùng như đã dự đoán. Nói cách khác, thuật toán là một bộ các qui tắc hay qui trình cụ thể nhằmgiải quyết một vấn đề trong một số bước hữu hạn, hoặc nhằm cung cấp mộtkết quả từ một tập hợp của các dữ kiện đưa vào. Thuật toán đôi khi còn đượcgọi là phương thức, thủ tục, hay kỹ thuật. Trong ngành khoa học máy tính, thì thuật toán là được thể hiệnthông qua một chương trình máy tính (hay một tập hợp các chương trình máytính) được thiết kế để giải quyết một số loại vấn đề một cách có hệ thống.Một thí dụ kinh điển trong ngành khoa học máy tính là thuật toán đệ quydùng để giải bài toán tháp Hà Nội Boolean Algebra – cách tính toán và biểu diễn các biểu thức trên hệ cơsố, nó cũng nghiên cứu các khái niệm điện tử học như cổng logic…. Combinatorics – Là một nhánh của toná học nghiên cứu tới liệt kê, tổhợp, hoán vị các tập phần tử, những tính chất và những quan hệ của chúng. Computability and Complexity Theories – Lý thuyết về độ phức tạp vàkhả năng tính toán – Liên quan tới combinatorics và algorithmics, nhưngnó tập trung vào những giới hạn về thực hành cũng như lý thuyết trong cácmô hình tính toán khác nhauđể giải quyết bài toán. Lý thuyết về độ phức tạpvà khả năng tính toán. Trong khoa học máy tinh, nó thường dùng ký hiệu O(Big-O). Counting – Liên quan tới các khái niệm và kỹ thuật đếm, liệt kê và tínhtoán trong các hệ số khác nhau. Graph Theory – Lý thuyết đồ thị – Đồ thị biểu diễn được rất nhiều cấutrúc, nhiều bài toán thực tế có thể được biểu diễn bằng đồ thị. Ví dụ, cấu trúcliên kết của một website có thể được biểu diễn bằng một đồ thị có hướngnhư sau: các đỉnh là các trang web hiện có tại website, tồn tại một cạnh cóhướng nối từ trang A tới trang B khi và chỉ khi A có chứa 1 liên kết tới B. Dovậy, sự phát triển của các thuật toán xử lý đồ thị là một trong các mối quantâm chính của khoa học máy tính Information Theory – Lý thuyết thông tin – Áp dụng toán học vào truyềnthông, nó dựa phần lớn vào xác suất và thông kê để nghiên cứu những lĩnhvực như phân tích dữ liệu, mạng, truyền thông, tính toán lượng tử … Logic – Theo truyền thống, logic được nghiên cứu như là một nhánh của 8triết học. Kể từ giữa thế kỉ 19 logic đã thường được nghiên cứu trong toánhọc và luật. Gần đây nhất logic được áp dụng vào khoa học máy tính vàtrí tuệ nhân tạo. Là một ngành khoa học hình thức, logic nghiên cứu vàphân loại cấu trúc của các khẳng định và các lý lẽ, cả hai đều thông quaviệc nghiên cứu các hệ thống hình thức của việc suy luận và qua sự nghiêncứu lý lẽ trong ngôn ngữ tự nhiên. Mathematical Relations – Quan hệ – liên quan tới lý thuyết tập, các quanhệ là việc gán một giá trị cho một tổ hợp của k-phần tử. Number Theory – Là một nhánh lớn của toán học nghiên cứu nhữngtính chất của số nguyên. Proofs – chứng minh – Dùng lập luận logic toán học để chứng minh mộtbiểu thức là đúng, sai. Functions- Hàm – Trong toán học, khái niệm hàm số (hay hàm) đượchiểu tương tự như khái niệm ánh xạ. Nếu như ánh xạ được định nghĩa là mộtqui tắc tuơng ứng áp dụng lên hai tập hợp bất kỳ (còn được gọi là tập nguồnvà tập đích), mà trong đó mỗi phần tử của tập hợp này (tập hợp nguồn) tươngứng với một và chỉ một phần tử thuộc tập hợp kia (tập hợp đích), thì ta hoàntoàn có thể coi hàm số là một trường hợp đặc biệt của ánh xạ, khi tập nguồnvà tập đích đều là tập hợp số Set Theory – Nghiên cứu tập các phần tử. Mặc dù bất ký một kiểu đốitượng nào cũng có thể tập hợp lại thành tập nhưng lý thuyết tập thường ápdụng cho các đối tượng trong toán học. Linear algebra – Đại số tuyến tính – được sử dụng nhiều trong toán học,như trong đại số đại cương, giải tích hàm, hình học giải tích… để giải cácbài toán như phép quay trong không gian, nội suy bình phương nhỏ nhất, nghiệm của hệphương trình vi phân, tìm đường tròn qua ba điểm… Nó cũng có vô vàn ứng dụngtrong khoa học tự nhiên (vật lý, công nghệ…) và khoa học xã hội (kinh tế…), vì các môhình phi tuyến tính hay gặp trong tự nhiên và xã hội thường có thể xấpxỉ bằng mô hình tuyến tính. Ký hiệu “→” :≡ “có thể được định nghĩa bởi” 9 Như chúng ta đã thảo luận phần trước, các cấu trúc toán học có thể đượcxây dựng hay chỉ ra thông qua các cấu trúc đơn giản hơn. Chính biểu đồ trênphác thảo một vài cách mà các cấu trúc rời rạc (và liên tục) đa dạng cuốicùng cũng được tạo nên từ cấu trúc rời rạc rất đơn giản là tập (set), cấu trúcnày chúng ta sẽ sớm tiếp cận. Biểu đồ cũng cho chúng ta thấy được phần nàoquan hệ của các đối tượng toán học. Tuy nhiên, biểu đồ đã được đơn giản hóađi rất nhiều, nhiều cấu trúc khác cũng như các cách định nghĩa các cấu trúcthông chúng đã được lược bỏ. Ví dụ, các tập có thể được định nghĩa thôngqua các hàm, hoặc các quan hệ. Không có một cấu trúc nào là cơ bản thựcsự, bởi vì hầu hết cấu trúc có thể được định nghĩa thông qua hầu như bất kỳcác kiểu khác. Các tập chỉ có thể là điểm bắt đầu nhưng chúng phổ cập đượcbởi vì định nghĩa của chúng quá đơn giản. Trong modul này, chúng ta sẽxem xét biểu đồ chi tiết để thấy được các cấu trúc này liên hệ với nhau nhưthế nào. 1.4 HỌC TOÁN RỜI RẠC NHƯ THẾ NÀO? Một số lời khuyên cho người học để có thể đạt hiệu quả cho modul nàynhư sau: Thứ nhất, sinh viên hãy coi bài tập như một phần quan trọng trong quátrình học. Người học sẽ học được phần lớn kiến thức thông qua bài tập, dovậy sinh viên hãy làm càng nhiều bài tập càng tốt, bao gồm cả bài tập cuốimỗi phần và các bài tập giảng viên cung cấp. Sinh viên hãy cố gắng tự giảibài tập trước khi xem lời giải. Đây là một yêu cầu rất quan trọng với sinhviên, người học chỉ có thể đạt được nhiều kiến thức nhất khi trải qua quá trình 10tự làm, tự học. Thứ hai, sinh viên không được bỏ một buổi học nào, thời gian học trênlớp là quá trình trao đổi rất tốt giữa giảng viên và sinh viên. Thứ ba, nếu học viên học ít hơn 3 ngày trong tuần trong quá trình họcmodul này thì học viên đang lãng phí thời gian của mình, do vậy tốt nhấtcho học viên là học tập thường xuyên. Thứ tư, hãy tạo cho mình môi trường học tập thoải mái: có thể đan xengiữa việc giải toán, nghỉ ngơi và …giải toán. Cuối cùng, không bao giờ quên bài giảng Hãy nhớ là: cho dù là bạn có khả năng vượt qua các kỳ thi bằng cách họcrất ít trước kỳ thi, nhưng với cách học như vậy thì kiến thức toán mà bạn họcsẽ chỉ đi vào “bộ nhớ tạm thời” mà thôi. Kết quả cuối cùng là kiến thứctoán của bạn sẽ ở mức độ mà không tồn tại lâu dài do cách học “sổi”, vàchính thói quen học tập nghiên cứu như vậy của bạn sẽ làm hại chính bạn. 11 BÀI 2: LOGIC Logic sử dụng để biểu diễn những luận điểm chính xác các mênhđề toán học. Những luật trong logic được dùng để phân biệt những luậnđiểm đúng và sai. Bài học này cũng giúp người học cách thức để hiểu và xâydựng các luận điểm toán học đúng đắn. Logic là nội dung trung tâm của khoa học máy tính từ khi ngành nàyđược hình thành: công trình của Alan Turing về Entscheidungsproblem theosau từ công trình của Kurt Gödel về các định lý về sự không toàn vẹn, và kháiniệm của các máy tính dành cho mục đích tổng quát bắt nguồn từ côngtrình này đã có tầm quan trọng mang tính nền tảng đối với các nhà thiết kếmáy tính trong những năm 1940. Trong những năm 1950 và 1960, các nhà nghiên cứu dự đoán rằng khitri thức của con người có thể được biểu diễn bằng logic và các ký hiệu toánhọc, sẽ có khả năng tạo ra một máy tính có khả năng lập luận, hay nói cáchkhác là trí tuệ nhân tạo. Điều này hóa ra là khó khăn hơn đã dự đoán do sựphức tạp trong lập luận của con người. Trong lập trình logic, một chươngtrình bao gồm một tập hợp các tiên đề và các luật. Các hệ thống lập trìnhlogic như Prolog tính toán các hệ quả của các tiên đề và luật để trả lời mộttruy vấn. Ngày nay, logic được ứng dụng rộng rãi trong các lãnh vực của trí tuệnhân tạo, và khoa học máy tính, và những ngành này cung cấp một nguồndồi dào các bài toán trong logic hình thức và phi hình thức. Lý thuyết lýluận là một ví dụ tốt cho thấy logic được áp dụng vào trí tuệ nhân tạo như thếnào. Thêm vào đó, máy tính có thể được sử dụng như công cụ cho các nhàlogic học. Ví dụ, trong logic biểu tượng và logic toán học, các chứng minhbởi con người có thể được hỗ trợ bởi máy tính. Sử dụng chứng minh định lýtự động, máy tính có thể tìm ra và kiểm tra các chứng minh, cũng như là làmviệc với những chứng minh quá dài cho việc viết ra 2.1. LOGIC MÊNH ĐỀ (propositional logic) 2.1.1 Những khái niệm cơ bản Các đối tượng cơ bản mà chúng ta khảo sát ở đây là các phát biểu hay cácmệnh đề. Trong lôgic toán, một phân ngành lôgic học, cơ sở của mọi ngành toánhọc, mệnh đề, hay gọi đầy đủ là mệnh đề lôgic là một khái niệm nguyênthủy, không định nghĩa. Thuộc tính cơ bản của một mệnh đề là giá trị chân lí của nó, được quy 12định như sau: Mỗi mệnh đề có đúng một trong hai giá trị chân lí 0 hoặc 1.Mệnh đề có giá trị chân lí 1 là mệnh đề đúng, mệnh đề có giá trị chân lí 0 làmệnh đề sai. Kí hiệu:  Người ta thường dùng các chữ cái a, b, c,… để kí hiệu cho cácmệnh đề.  Nếu mệnh đề a có giá trị chân lí là 1 thì ta kí hiệu G(a) = 1; nếumệnh đề a có giá trị chân lí là 0 thì ta kí hiệu là G(a) = 0. Chẳng hạn, để kí hiệu a là mệnh đề “Paris là thủ đô của nước Pháp” ta sẽviết:  a = “Paris là thủ đô của nước Pháp” hoặc  a : “Paris là thủ đô của nước Pháp”. Ở đây, a là mệnh đề đúng nên G(a) = 1. Chú ý: 1. Trong thực tế có những mệnh đề mà tính đúng sai của nó luôn gắn vớimột thời gian và địa điểm cụ thể: đúng ở thời gian hoặc địa điểm này nhưngsai ở thời gian hoặc địa điểm khác. Nhưng ở bất kì thời điểm nào, địa điểmnào cũng luôn có giá trị chân lí đúng hoặc sai. Chẳng hạn:  Sáng nay bạn An đi học.  Trời mưa.  Học sinh tiểu học đang đi nghỉ hè. 2. Ta thừa nhận các luật sau đây của lôgic mệnh đề:  Luật bài trùng: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng, hoặc sai; khôngcó mệnh đề nào không đúng cũng không sai.  Luật mâu thuẫn: Không có mệnh đề nào vừa đúng lại vừa sai. 3. Có những mệnh đề mà ta không biết (hoặc chưa biết) đúng hoặc sainhưng biết “chắc chắc” nó nhận một giá trị. Chẳng hạn:  Trên sao Hỏa có sự sống. Mệnh đề và câu Mệnh đề có thể là một câu nhưng không phải mọi câu đều là mệnh đề.Có thể chia các câu trong khoa học cũng như trong cuộc sống ra làm hai loại:loại thứ nhất gồm những câu phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế kháchquan và loại thứ hai gồm những câu không phản ánh tính đúng hoặc sai mộtthực tế khách quan nào. Những câu thuộc loại thứ nhất là chính những mệnhđề. Vì vậy có thể nói: “Mệnh đề là một câu khẳng định có tính chất hoặc đúnghoặc sai”. 13 Ví dụ: 1. “Paris là thủ đô của nước Pháp” ← là mệnh đề đúng. 2. “Nước Việt Nam nằm ở châu Âu” ← là mệnh đề sai. 3. “Tháng 12 có 28 ngày” ← là mệnh đề sai. 4. “Một năm có 12 tháng và mỗi tuần có 7 ngày” ← là mệnh đề đúng. 5. “20 là số chẵn” ← là mệnh đề đúng. 6. “Số 123 chia hết cho 3” ← là mệnh đề đúng. 7. “2 cộng với 3 bằng 7” ← là mệnh đề sai. 8. “15 lớn hơn 30” ← là mệnh đề sai. 9. Các câu sau: “Cuốn sách này giá bao nhiêu tiền?” “Bao giờ lớp mình đi tham quan Đền Hùng?” “Ôi! ngôi nhà mới đẹp làm sao!” “Tất cả hãy anh dũng tiến lên!” đều không phải là mệnh đề. Nhận xét: nói chung những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu mệnh lệnhđều không phải là mệnh đề. Mệnh đề lôgic và mệnh đề mờ Nếu như trong Lôgic toán, một mệnh đề chỉ có thể nhận một trong hai giátrị chân lí 0 hoặc 1 thì trong Trí tuệ nhân tạo người ta dùng lôgic mờ, mà ở đó giátrị chân lí của một mệnh đề là một số nằm giữa 0 và 1. Mệnh đề có giá trịchân lí 0 là sai, có giá trị chân lí 1 là đúng. Còn giá trị chân lí nằm giữa 0 và1 chỉ ra mức độ thay đổi của chân lí. 2.1.2 Các phép toán lôgic cơ bản Trong toán học, khi có hai số, người ta dùng các phép toán số học (cộng,trừ, nhân, chia,…) tác động vào chúng để nhận được những số mới. Tương tự,khi có mệnh đề, người ta dùng các phép lôgic tác động vào chúng để nhậnđược những mệnh đề mới. Dưới đây ta trình bày định nghĩa và các tínhchất cơ bản của các phép toán này. Phép phủ định Phủ định của mệnh đề a là một mệnh đề, kí hiệu là , đúng khi a sai và saikhi a đúng. 14 Ví dụ 1: Nếu a = “Paris là thủ đô của nước Pháp” thì mệnh đề phủ định có thểdiễn đạt như sau:  = “Không phải Paris là thủ đô của nước Pháp”  hoặc = “Paris không phải là thủ đô của nước Pháp”. Ở đây G(a) = 1 còn G( a ) = 0. Ví dụ 2: Nếu b = “15 lớn hơn 30” thì mệnh đề phủ định có thể diễn đạt như sau:  = “Không phải 15 lớn hơn 30”  hoặc = “15 không lớn hơn 30”  hoặc = “15 nhỏ hơn 30” Ở đây G(b) = 0 còn G( ) = 1. Ví dụ 3: Nếu c = “Chuyến tàu TN1 hôm nay bãi bỏ” thì mệnh đề phủ định cóthể diễn đạt như sau: = “Chuyến tàu TN1 hôm nay không bãi bỏ”. Nếu qua xác minh mệnh đề c đúng (hoặc sai) thì mệnh đề phủ địnhsẽ sai (hoặc đúng). Chú ý: Mệnh đề phủ định a thường được diễn đạt là “không phải a”. Phép hội Hội của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề, đọc là a và b, kí hiệu a Λ b(hoặc a.b), đúng khi cả hai mệnh đề a, b cùng đúng và sai trong các trườnghợp còn lại. ảng giá trị chân lí của phép hội a b aΛb 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 15 Chú ý: Để thiết lập mệnh đề hội của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnhđề đó bởi liên từ “và” hay một liên từ khác cùng loại. Những liên từ đó là:mà, nhưng, song, đồng thời, vẫn, cùng,… hoặc dùng dấu phảy hoặc khôngdùng liên từ gì. Ví dụ 1: “Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở Hà Nội và thành phố Hồ Chí Minh” làhội của hai mệnh đề a = “Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở Hà Nội” và b =”Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở thành phố Hồ Chí Minh”. Vì hai mệnh đềnày không thể cùng đúng, nên G(a Λ b) = 0. Ví dụ 2: “Thành phố Hồ Chí Minh là thành phố lớn nhất trong cả nước nhưngkhông phải là thủ đô” là hội của hai mệnh đề a = “Thành phố Hồ Chí Minh làthành phố lớn nhất trong cả nước” và b = “Thành phố Hồ Chí Minh khôngphải là thủ đô”. Rõ ràng là G(a) = 1 và G(b) = 1 nên G(a Λ b) = 1. Ví dụ 3:  “Số π lớn hơn 2 song nhỏ hơn 3”.  “Chị Nga nói thạo tiếng Pháp mà không biết tiếng Anh”.  “ABC là tam giác vuông cân” là hội của của hai mệnh đề a = “ABClà tam giác vuông” và b = “ABC là tam giác cân”.  “Không những trời nắng to mà còn gió tây”.  “Chồng cày, vợ cấy, con trâu đi bừa”.Chú ý: Đôi khi trong mệnh đề có liên từ “và” nhưng không có nghĩa củamệnh đề hội. Chẳng hạn:  “Số lẻ và số chẵn là hai tập con rời nhau của tập số tự nhiên”.  “Hùng đạt được tất cả 20 điểm 9 và 10”. Phép tuyển Tuyển của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề đọc là a hoặc b, kí hiệu là aν b (hoặc a+b), sai khi cả hai mệnh đề cùng sai và đúng trong trường hợp còn lại. Bảng giá trị chân lí của phép tuyển a b aνb 1 1 1 1 0 1 0 1 1 16 0 0 0 Phép tuyển trên còn được gọi là phép tuyển không loại trừ. Phép tuyển loại trừ của hai mệnh đề a và b, chỉ đúng khi hoặc a, hoặc bđúng. Chú ý: Để thiết lập mệnh đề tuyển của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệ nhđề đó bởi liên từ “hoặc” (hay liên từ khác cùng loại). Ví dụ 1: “Tháng 12 có 31 ngày hoặc 2 + 2 = 4″ là tuyển của hai mệnh đề a =”Tháng 12 có 31 ngày” và b = “2 + 2 = 4”. Ở đây G(a ν b) = 1. Ví dụ 2:  “3 nhỏ hơn hoặc bằng 4″← là mệnh đề đúng  “Số lẻ là số có chữ số tận cùng bằng 1, 3, 5, 7 hoặc 9″← là mệnh đềđúng  “20 là số lẻ hoặc chia hết cho 3″← là mệnh đề sai Chú ý: Trong thực tế, liên từ “hoặc” thường được dùng với hai nghĩa”loại trừ” và “không loại trừ”.  Phép tuyển “hoặc a hoặc b” là phép tuyển loại trừ để chỉ a hoặcb nhưng không thể cả a lẫn b.  Phép tuyển “a hoặc b” là phép tuyển không loại trừ để chỉ a hoặc bvà có thể cả a lẫn b. Chẳng hạn:  “Hôm nay là ngày Chủ nhật hoặc ngày lễ”← là phép tuyển khôngloại trừ.  “20 là số lẻ hoặc nó chia hết cho 2″← là phép tuyển loại trừ. Phép kéo theo a kéo theo b là một mệnh đề, kí hiệu là a b, chỉ sai khi a đúng và bsai và đúng trong các trường hợp còn lại. Bảng giá trị chân lí của phép kéo theo a b a b 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Chú ý: Mệnh đề a kéo theo b thường được diễn đạt dưới nhiều hình thứckhác nhau, 17 chẳng hạn: “Nếu a thì b” “Có b khi có a” “Từ a suy ra b” “a là điều kiện đủ để có b” “b là điều kiện cần (ắt có) để có a” Ví dụ:  “15 có chữ số tận cùng bằng 5 suy ra 15 chia hết cho 5″← mệnh đềđúng.  “Nếu dây tóc bóng đèn có dòng điện chạy qua thì bóng đènsáng”←mệnh đề đúng Chú ý: 1. Trong lôgic, khi xét giá trị chân lí của mệnh đề a b người ta khôngquan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề a, b. Khôngphân biệt trường hợp a có phải là nguyên nhân để có b hay không, mà chỉquan tâm đến tính đúng, sai của chúng. Ví dụ:  “Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở Châu Âu”←mệnh đề đúng. Vì ở đây hai mệnh đề a = “mặt trời quay quanh trái đất” vàb = “Việt Nam nằm ở Châu Âu” đều sai.  “Nếu tháng 12 có 31 ngày thì mỗi năm có 13 tháng” ← mệnh đề sai. 2. Theo bảng chân lí trên, ta thấy:  Nếu a sai thì a b luôn đúng.  Nếu a đúng thì a b đúng khi b đúng. Vì vậy để chứng minh mệnh đề a b đúng ta chỉ cần xét trường hợp avà b cùng đúng và phép chứng minh mệnh đề a b được tiến hành theo babước: Bước 1. Giả sử a đúng. Bước 2. Từ giả thiết a đúng, dùng lập luận và các mệnh đề toán học đãbiết, suy ra b đúng. Bước 3. Kết luận a b luôn đúng. Trong mệnh đề a b ta gọi a là giả thiết, b là kết luận. 3. Nếu ta coi là mệnh đề thuận thì b a là mệnh đề đảo, 4. Trong văn học, mệnh đề kéo theo còn được diễn đạt bằng nhiều hìnhthức phong phú. Chẳng hạn: 18 “Bao giờ bánh đúc có xương, Bấy giờ dì ghẻ mới thương con chồng” hoặc “Chuồn chuồn bay thấp thì mưa, Bay cao thì nắng bay vừa thì râm”. Phép tương đương a tương đương b là một mệnh đề, kí hiệu là ab, nếu cả hai mệnh đềa và b cùng đúng hoặc cùng sai. Chú ý: Bảng giá trị chân lí của mệnh đề tương đương a b ab 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1. Trong thực tế, mệnh đề “a tương đương b” thường được diễn đạtdưới nhiều hình thức khác nhau. Chẳng hạn: “a khi và chỉ khi b” “a nếu và chỉ nếu b” “a và b là hai mệnh đề tương đương” “a là điều kiều kiện cần và đủ để có b” 2. Hai mệnh đề a, b tương đương với nhau hoàn toàn không có nghĩa lànội dung của chúng như nhau, mà nó chỉ nói lên rằng chúng có cùng giá trịchân lí (cùng đúng hoặc cùng sai). Ví dụ:  “Tháng 12 có 31 ngày khi và chỉ khi trái đất quay quanh mặt trời”là mệnh đề đúng.  “12 giờ trưa hôm nay Tuấn có mặt ở Hà Nội nếu và chỉ nếu vàogiờ đó anh đang ở thành phố Hồ Chí Minh” là mệnh đề sai.  “Hình vuông có một góc tù khi và chỉ khi 100 là số nguyên tố”là mệnh đề đúng. 3. Một cách khác, người ta cũng nói rằng a tương đương b khi và chỉ khicả hai mệnh đề a b và b a cùng đúng. Vì vậy để chứng minh mệnh đề a 19 b ta chứng minh hai mệnh đề a b và b a. 4. Các cặp mệnh đề thuận và phản đảo, đảo và phản là những cặp mệnhđề tương đương. Đây chính là cơ sở của phương pháp chứng minh giántiếp trong toán học. 2.1.3 Sự tương đương lôgic và luật Công thức Trong phần trên ta đã xét năm phép toán trên các mệnh đề. Như vậy,nếu có các mệnh đề a, b, c,… khi dùng các phép toán lôgic tác động vào,chúng ta sẽ nhận được những mệnh đề ngày càng phức tạp hơn. Mỗi mệnhđề như thế và cả những mệnh đề xuất phát ta gọi là công thức. Hay nói cáchkhác: Mỗi công thức được tạo thành từ những mệnh đề dưới tác dụng của cácphép toán lôgic. Như vậy ta gán cho mỗi mệnh đề có mặt trong công thức Pmột giá trị chân lí, dùng bảng chân lí của các phép lôgic ta khẳng định đượccông thức P là mệnh đề đúng hoặc sai. Nếu P là mệnh đề đúng (hoặc sai)thì ta nói công thức P có giá trị chân lí bằng 1 (hoặc 0). Ví dụ:  (1) là công thức có giá trị chân lí bằng 1 (với mọi mệnh đề a). Bảng giá trị chân lí của công thức (1) a aΛ 0 1 0 1 1 0 0 1  (2) là một công thức có giá trị chân lí bằng 0 (với mọi mệnh đề a, b). Bảng giá trị chân lí của công thức (2) 20 Sự tương đương lôgic Cho P và Q là hai công thức. Ta nói rằng hai công thức P, Q tươngđương lôgic với nhau, kí hiệu là P ≡ Q, nếu với mọi hệ chân lí gán cho cácmệnh đề có mặt trong hai công thức đó thì chúng luôn nhận giá trị chân lí nhưnhau. Đặc biệt, hai mệnh đề a, b gọi là tương đương lôgic, kí hiệu là a ≡ b,nếu chúng cùng đúng hoặc cùng sai. Chú ý: 1. Kí hiệu a ≡ b là để chỉ hai mệnh đề tương đương lôgic chứ khôngphải là hai mệnh đề bằng nhau. 2. Hai mệnh đề tương đương lôgic có thể về nội dung chúng hoàn toànkhông có liên quan. Chẳng hạn: “Tháng 2 có 31 ngày ≡ 2 + 2 = 11”. 3. Quan hệ P ≡ Q còn được gọi là một đẳng thức. Đẳng thức Dưới đây là một số đẳng thức thường gặp trong lôgic mệnh đề: Phủ định của phủ định (1) ≡ a. Luật Đờ Moócgăng (2) ≡ (3) ≡ Tính chất kết hợp của các phép lôgic (4) (a Λ b) Λ c ≡ a Λ (b Λ c) (5) (a ν b) ν c ≡ a ν (b ν c) Tính chất giao hoán của các phép lôgic (6) a Λ b ≡ b Λ a (7) a ν b ≡ b ν a (8) ab ≡ ba Tính chất phân phối
1. Giáo trình toán rời rạc2. Slide bài giảng3. Bài tập toán rời rạc4. Tổng hợp đề thi giữa kỳ5. Tổng hợp đề thi cuối kỳ6. Tài liệu tham khảo thêm

2. Slide bài giảng

Trong thư mục bên dưới gồm nhiều file slide theo các bài/ chương. Các bạn vào thư mục để xem toàn bộ nhé, ở đây mình chỉ demo 1 file.

3. Bài tập toán rời rạc

Trong thư mục bên dưới gồm nhiều file theo các bài/ chương. Các bạn vào thư mục để xem toàn bộ nhé, ở đây mình chỉ demo 1 file.

Trong thư mục bên dưới gồm nhiều file theo các bài/ chương. Các bạn vào thư mục để xem toàn bộ nhé, ở đây mình chỉ demo 1 file.

4. Tổng hợp đề thi giữa kỳ

Trong thư mục bên dưới gồm nhiều file. Các bạn vào thư mục để xem toàn bộ nhé, ở đây mình chỉ demo 1 file.

Xem thêm: Soạn bài hoạt động ngữ văn thi kể chuyện, hoạt động ngữ văn

5. Tổng hợp đề thi cuối kỳ

Trong thư mục bên dưới gồm nhiều file. Các bạn vào thư mục để xem toàn bộ nhé, ở đây mình chỉ demo 1 file.

Bài viết mới

Tài liệu môn Quá trình và thiết bị CNTP III – BF3533Tài liệu môn Quá trình và thiết bị CNTP II – BF3532Tài liệu Quản lý chất lượng trong công nghiệp thực phẩm BF3525Tài liệu Phương pháp đánh giá chất lượng thực phẩm – BF3524Tài liệu môn Vật lý học thực phẩm – BF3522Tài liệu môn An toàn thực phẩm – BF3515Tài liệu môn Dinh dưỡng CTTT – BF3514ETài liệu môn Dinh dưỡng – BF3514Tài liệu Công nghệ thực phẩm đại cương – BF3513Tài liệu Vi sinh vật đại cương – BF3509E

Danh mục

Bài giảng
Blog – Hướng dẫn
Điểm rèn luyện
IELTSTài liệu Bách Khoa
Tài liệu NEUTài liệu tham khảo
Tài liệu THPTTài liệu tiếng Anh
Tiếng anh tổng hợp
TOEICAEPcông nghệ thông tin
Giáo dục Quốc phòng – An ninhkhoa công nghệ dệt maykhoa công nghệ hóa họckhoa học và kỹ thuật vật liệu
Khoa ngoại ngữlý luận chính trịlập trìnhmôn bổ trợsamiseeesemsoicttrường công nghệ thông tin và truyền thôngtrường cơ khítrường điện – điện tử
Viện Công nghệ sinh học và Công nghệ thực phẩmviện kinh tế và quản lýViện sinh phẩmviện sư phạm kỹ thuậtviện toán ứng dụng và tin họcviện vật lý kỹ thuậtđồ họa

Bình luận gần đây

Hậu Văn Vở on Tài liệu môn Kinh tế vi mô đại cương
Le Loan on Tài liệu môn Kinh tế vi mô đại cương
Hậu Văn Vở on Tài liệu môn Vật lý đại cương 2Phong on Tài liệu môn Vật lý đại cương 2Nguyễn Mạng Cường on Giải đề cương giải tích 1report this ad
TÀI LIỆU ĐẠI HỌCMenu Toggle
Tài liệu Bách Khoa
Menu Toggle
Bài giảng
Tài liệu NEUTài liệu tiếng Anh
Menu Toggle
Tiếng anh tổng hợp
TOEICIELTSTài liệu tham khảo
Blog – Hướng dẫn