Tài liệu Bài giảng Toán cao cấp A3: ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHKHOA KHOA HỌC CƠ BẢNTỔ BỘ MÔN TOÁNBÀI GIẢNGTOÁN CAO CẤP A3Dùng cho bậc Đại học
Bạn đang xem: Toán cao cấp a3 bài giảng và bài tập
Biên soạn: Th.s Đỗ Hoài Vũ
Học kỳ 3. Năm học: 2010-2011Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Chương 1. Phép tính vi phân hàm n biến 31.1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1. Các cách biểu diễn hàm n biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2. Đạo hàm riêng của hàm 2 biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3. Đạo hàm riêng cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.4. Đạo hàm hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.5. Vi phân cấp n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.6. Công thức Taylor của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.7. Cực trị của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . ….
33 trang | Chia sẻ: honghanh66 | Lượt xem: 1447 | Lượt tải: 1
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Bài giảng Toán cao cấp A3, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHKHOA KHOA HỌC CƠ BẢNTỔ BỘ MÔN TOÁNBÀI GIẢNGTOÁN CAO CẤP A3Dùng cho bậc Đại học
Biên soạn: Th.s Đỗ Hoài Vũ
Học kỳ 3. Năm học: 2010-2011Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Chương 1. Phép tính vi phân hàm n biến 31.1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1. Các cách biểu diễn hàm n biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2. Đạo hàm riêng của hàm 2 biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3. Đạo hàm riêng cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.4. Đạo hàm hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.5. Vi phân cấp n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.6. Công thức Taylor của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.7. Cực trị của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Chương 2. Tích phân bội hai 122.1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.1. Bảng nguyên hàm hàm số một biến. . . . . . . . . . . . . . . 122.1.2. Phương pháp tính tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . 122.1.3. Cách vẽ một số đường cơ bản trong mặt phẳng tọa độ Oxy. . 132.2. Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.1. Định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2. Một số tính chất của tích phân bội hai . . . . . . . . . . . . . 142.2.3. Phương pháp tính tích phân bội hai . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.4. Phương pháp đổi biến trong tích phân bội hai. . . . . . . . . . 152.2.5. Ứng dụng của tích phân bội hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Chương 3. Tích phân bội ba 193.1. Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.1. Định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.2. Một số tính chất của tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . 193.1.3. Phương pháp tính tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.4. Phương pháp đổi biến trong tích phân bội ba. . . . . . . . . . 203.1.5. Ứng dụng của tích phân bội ba. . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Mục lục Th.s Đỗ Hoài Vũ
Chương 4. Tích phân mặt 254.1. Tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.1.1. Định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.1.2. Phương pháp tính tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . . . . . . 254.1.3. Ứng dụng của tích phân mặt loại 1. . . . . . . . . . . . . . . . 284.2. Tích phân mặt loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2.1. Định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2.2. Phương pháp tính tích phân mặt loại 2 . . . . . . . . . . . . . 294.3. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇Chương 1Phép tính vi phân hàm n biến1.1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1. Kiến thức chuẩn bị
Cần nhớ bảng đạo hàm và các quy tắc đạo hàm của hàm một biến số.1.2. Tóm tắt lý thuyết1.2.1. Các cách biểu diễn hàm n biến-Biểu diễn dạng bảng (không xét trong bài giảng).- Biểu diễn dạng biểu thức.Ví dụ1:Hàm hai biến z = f(x, y) =x+ yx-Biểu diễn dạng phương trình ẩn.Ví dụ 2:Hàm hai biến z=z(x,y) cho bởi phương trình ẩnx2 + y2 + z2 − 2xz = 0- Biểu diễn dạng hàm hợp.Ví dụ 3:Hàm hai biến z=z(x,y) biểu diễn thông qua u,vz = z(u, v);{u = u(x, y)v = v(x, y)1.2.2. Đạo hàm riêng của hàm 2 biến
Bài toán : Cho hàm hai biến z=z(x,y). Tìm z′x; z′y
Giải- Nếu z biểu diễn dạng biểu thức thì khi đạo hàm theo biến nào sẽ coi biến còn lại4 Phép tính vi phân hàm n biến Th.s Đỗ Hoài Vũlà hằng số
Ví dụ 1:z = x2y + cos(x+ 2y + 2)⇒{z′x = 2xy − sin(x+ 2y + 2)z′y = x2 − 2 sin(x+ 2y + 2)- Nếu z biểu diễn dạng phương trình ẩn F (x, y, z) = 0 thì dùng một trong hai cáchsau:Cách 1 : Đạo hàm hai vế phương trình ẩn
Cách 2 : Dùng công thức z′x = −F′x
F ′zvà z′y = −F′y
F ′z( lúc này ta coi x,y,z là cácbiến độc lập)Ví dụ 2:z = z(x, y) cho bởi phương trình ẩn x2 + y2 + z3 + 2z = 0. Khi đó{z′x = − 2x3z2+2z′y = − 2y3z2+2- Nếu z biểu diễn dạng hàm hợp thì
Cách 1: Chuyển biểu diễn của hàm z theo u,v về theo x,y sau đó tính như trườnghợp biểu diễn bằng biểu thức
Cách 2: Dùng công thức {z′x = z′uu′x + z′vv′xz′y = z′uu′y + z′vv′y
Ví dụ 3:Cho z = z(u, v) = u− v2 với u = x2 − y2, v = exy. Khi đó{z′x = 2x− 2ye2xyz′y = −2y − 2xe2xy1.2.3. Đạo hàm riêng cấp cao
Nếu chúng ta áp dụng các quy tắc đã nêu trong mục đạo hàm riêng n lần thìchúng ta sẽ được đạo hàm riêng cấp n theo từng biến và ký hiệu là z(n)xn và z(n)yn .Ví dụ 1:z = x2y + cos(x+ 2y + 2)⇒{z(n)xn = cos(x+ 2y + 2 +npi2)z(n)yn = 2n cos(x+ 2y + 2 + npi2)Ví dụ 2:Xét z = z(x, y) thỏa x2 + y2 + z3 + 2z = 0(∗). Khi đó- Đạo hàm hai vế (*) theo x ta được : 2x+ 3z2z′x + 2z′x = 0(∗∗)- Đạo hàm hai vế (**) theo x ta được : 2 + 6z(z′x)2 + 3z2z′′x2 + 2z′′x2 = 0∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇Th.s Đỗ Hoài Vũ 1.2. Tóm tắt lý thuyết 5…Như vậy muốn tính z(n)xn (hoặc z(n)yn ) chỉ cần đạo hàm liên tiếp (*) n lần theo x(hoặc n lần theo y )Ví dụ 3:Cho z = z(u, v) = u− v2 với u = x2 − y2, v = exy. Tính z(n)xn và z(n)xn
Chuyển biểu diễn z theo x,y ta có:z = z(x, y) = x2 − y2 − e2xy ⇒{z(n)xn = −(2y)ne2xyz(n)yn = −(2x)ne2xy1.2.4. Đạo hàm hỗn hợp+ z′′xy: Lần thứ nhất đạo hàm theo x, lấy kết quả đạo hàm theo y.+ z′′yx: Lần thứ nhất đạo hàm theo y, lấy kết quả đạo hàm theo x+ z(n+m)xnym : Đạo hàm theo x n lần, lấy kết quả đạo hàm tiếp theo y m lần.Ví dụ 1:Cho z = xy +√y2 + 2⇒ z′′xy = z′′yx = xy−1(1 + y lnx)Ví dụ2:Xét z=z(x,y) thỏa x2 + y2 + z3 + 2z = 0(∗). Khi đó- Đạo hàm hai vế (*) theo x ta được : 2x+ 3z2z′x + 2z′x = 0(∗∗)- Đạo hàm hai vế (**) theo y ta được : 6zz′yz′x + 3z2z′′xy + 2z′′xy = 0Vậy z′′xy = −6zz′xz′y3z2+2. Thay đổi thứ tự đạo hàm ta được z′′yx = z′′yx.1.2.5. Vi phân cấp n
Cho hàm z = z(x, y).- Vi phân cấp 1 của z: dz = z′xdx+ z′ydy- Vi phân cấp 2 của z: d2z = z′′x2dx2 + 2z′′xydxdy + z′′y2dy2- Vi phân cấp 3 của z: d3z = z(3)x3 dx3 + 3z(3)x2ydx2dy + 3z(3)xy2dxdy2 + z(3)x3 dy3- Vi phân cấp n của z: dnz =n∑k=0Cknf(n)xkyn−kdxkdyn−k
Ví dụ 1:Cho z = z(x, y) = cos(2x+ 3y). Tìm dz, d2z, d3z, d3z(pi4, 0).Giải.Ta có:z′x = −2 sin(2x+ 3y);z′y = −3 sin(2x+ 3y);z′′x2 = −4 cos(2x+ 3y);z′′y2 = −9 cos(2x+ 3y);z′′xy = −6 cos(2x+ 3y)z′′yx = −6 cos(2x+ 3y)z′′′x2y = 12 sin(2x+ 3y)z′′′y2x = 18 sin(2x+ 3y); z′′′x3 = 8 sin(2x+ 3y); z′′′y2x = 27 sin(2x+ 3y)∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇6 Phép tính vi phân hàm n biến Th.s Đỗ Hoài Vũ
Suy radz = −2(dx+ dy) sin(2x+ 3y)d2z = −(4dx2 + 12dxdy + 9dy2) cos(2x+ 3y)d3z = (8dx3 + 36dx2dy + 54dxdy2 + 27dy3) sin(2x+ 3y)Thay x = pi4, y = 0 vào biểu thức d3z ta đượcd3z = (8dx3 + 36dx2dy + 54dxdy2 + 27dy3) sin(pi2)= 8dx3 + 36dx2dy + 54dxdy2 + 27dy3Ví dụ 2:Cho z = z(x, y). thỏa x2 + y2 + z3 + 2z = 0(∗). Tìm d2z(0, 0).Giải.Ta có:- Đạo hàm hai vế (*) theo x ta được : 2x+ 3z2z′x + 2z′x = 0 (2*)- Đạo hàm hai vế (2*) theo x ta được : 2 + 6z(z′x)2 + 3z2z′′x2 + 2z′′x2 = 0 (3*)- Đạo hàm hai vế (*) theo y ta được : 2y + 3z2z′y + 2z′y = 0 (4*)- Đạo hàm hai vế (4*) theo y ta được : 2 + 6z(z′y)2 + 3z2z′′y2 + 2z′′y2 = 0 (5*)- Đạo hàm hai vế (2*) theo y ta được : 6zz′yz′x + 3z2z′′xy + 2z′′xy = 0 (6*)Thay x = y = 0 vào (*) ta được z = 0.Thay x = z = 0 vào (2*) ta được z′x = 0.Thay z = 0 vào (3*) ta được z′′x2 = −1. Thay y = z = 0 vào (4*) ta được z′y = 0.Thay z = 0 vào (5*) ta được z′′y2 = −1. Thay z = 0 vào (6*) ta được z′′xy = 0.Vậy d2z(0, 0) = −dx2 − dy2.1.2.6. Công thức Taylor của hàm hai biến
Dạng thứ nhất:f(x, y) = f(x0, y0) + dz(x0, y0) +12!d2z(x0, y0) + …+1n!dnz(x0, y0) +Rn(x, y)Dạng thứ hai:f(x, y) = f(x0, y0) +1∑K=0Ck1 (x− x0)k(y − y0)1−kf (1)xky1−k(x0, y0)+ 12!2∑K=0Ck2 (x− x0)k(y − y0)2−kf (2)xky1−k(x0, y0)+ 13!3∑K=0Ck3 (x− x0)k(y − y0)3−kf (3)xky1−k(x0, y0)…+ 1n!n∑K=0Ckn(x− x0)k(y − y0)n−kf (n)xky1−k(x0, y0)+Rn(x, y)Ghi chú : Số hạng1m!m∑K=0Ckm(x− x0)k(y − y0)m−kf (m)xkym−k(x0, y0); 0 ≤ m ≤ n.∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇Th.s Đỗ Hoài Vũ 1.2. Tóm tắt lý thuyết 7gọi là số hạng bậc m trong công thức Taylor(chú ý tổng lũy thừa của x, y bằng m)Ví dụ 1:Viết công thức Taylor đến số hạng bậc 2 của hàm z = f(x, y) = (x + y)ex tại lâncận x0 = 0, y0 = 1.Giảif(x, y) = f(x0, y0) +1∑K=0Ck1 (x− x0)k(y − y0)1−kf (1)xky1−k(x0, y0)+ 12!2∑K=0Ck2 (x− x0)k(y − y0)2−kf (2)xky1−k(x0, y0)= f(x0, y0) + (x− x0)f ′x(x0, y0) + (y − y0)f ′y(x0, y0)+ 12!= f(0, 1) + xf ′x(0, 1) + (y − 1)f ′y(0, 1)+ 12!
Cách 1: Làm như ví dụ 1.Cách 2: Nhận thấy công thức Taylor tại x0, y0 của hàm z thực chất là biểu diễn ztheo x− x0 và y − y0 nên trong ví dụ này chúng ta có thể làm nhanh như sau:z = (x− x0 + x0)(y − y0 + y0 + 5)2 + (x− x0 + x0)3 + 2(y − y0 + y0) + 3= (x− 2 + 2)(y − 1 + 6)2 + (x− 2 + 2)3 + 2(y − 1 + 1) + 3Đặt a = x− 2, b = y − 1. Ta có :z = (a+ 2)(b+ 6)2 + (a+ 2)3 + 2(b+ 1) + 3= (a+ 2)(b2 + 12b+ 36) + a3 + 6a2 + 12a+ 8 + 2b+ 5= ab2 + 12ab+ 36a+ 2b2 + 24b+ 72 + a3 + 6a2 + 12a+ 2b+ 13bỏ đi số hạng có tổng lũy thừa của a, b lớn hơn 2 (vì chỉ viết đến số hạng bậc 2 ) tađược công thức Taylor của z là:z = 85 + 48a+ 26b+ 6a2 + 12ab+ 2b2= 85 + 48(x− 2) + 26(y − 1) + 6(x− 2)2 + 12(x− 2)(y − 1) + 2(y − 1)2∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇8 Phép tính vi phân hàm n biến Th.s Đỗ Hoài Vũ
Ví dụ 3:Viết công thức Taylor đến số hạng bậc 3 của hàm z = f(x, y) = xyln(x2+2y+ecosx)tại lân cận x0 = 0, y0 = 0.Giải
Cách 1: Làm như ví dụ 1 (rất dài).Cách 2: Do chỉ viết công thức Tarlor đến số hạng bậc 3 nên trong các số hạng củacông thức tổng số lũy thừa của tích xy không được vượt quá 3, do đó chỉ cần khaitriển hàm z = f(x, y) = ln(x2 + 2y + ecosx) đến số hạng bậc 1 để khi nhân với tíchxy tổng lũy thừa không qúa 3.Ta có :f(x, y) = ln(x2 + 2y + ecosx)⇒{f ′x =2x−sinxecos xx2+2y+ecos x⇒ f ′x(0, 0) = 0f ′y =2×2+2y+ecos x⇒ f ′y(0, 0) = 2/e
Suy ra công thức Taylor của hàm z = f(x, y) = ln(x2 + 2y + ecosx) tại x0 = y0 = 0là f(x, y) = f(0, 0) + xf ′x(0, 0) + yf′y(0, 0) = 1 +2ey
Suy ra công thức Taylor của hàm z = f(x, y) = xyln(x2+2y+ecosx) tại x0 = y0 = 0đến số hạng bậc 3 là f(x, y) = xy + 2exy2Ví dụ 4:Viết công thức Taylor đến số hạng bậc 2 của hàm z = f(x, y) biểu diễn bởi phươngtrình ẩn x2 + y2 + z3 + 2z = 0 (*) tại lân cận x0 = 0, y0 = 0.Giải
Ta có:- Đạo hàm hai vế (*) theo x ta được : 2x+ 3z2z′x + 2z′x = 0 (2*)- Đạo hàm hai vế (2*) theo x ta được : 2 + 6z(z′x)2 + 3z2z′′x2 + 2z′′x2 = 0 (3*)- Đạo hàm hai vế (*) theo y ta được : 2y + 3z2z′y + 2z′y = 0 (4*)- Đạo hàm hai vế (4*) theo y ta được : 2 + 6z(z′y)2 + 3z2z′′y2 + 2z′′y2 = 0 (5*)- Đạo hàm hai vế (2*) theo y ta được : 6zz′yz′x + 3z2z′′xy + 2z′′xy = 0 (6*)Thay x = y = 0 vào (*) ta được z = 0.Thay x = z = 0 vào (2*) ta được z′x = 0.Thay z = 0 vào (3*) ta được z′′x2 = −1. Thay y = z = 0 vào (4*) ta được z′y = 0.Thay z = 0 vào (5*) ta được z′′y2 = −1. Thay z = 0 vào (6*) ta được z′′xy = 0.Vậy Công thức Taylor của z là z = −x2+y22.1.2.7. Cực trị của hàm hai biếna) Định nghĩa
Cho hàm z = f(x, y) xác định trên miền D, M0(x0, y0) là điểm trong của D. Ta nói:-f(x, y) đạt cực đại tại M0 nếu f(x, y)− f(x0, y0) 0với mọi (x, y) thuộc lân cận (x0, y0) nhưng khác (x0, y0).b) Cực trị tự do
Bài toán : Tìm cực trị của hàm z = f(x, y).Giải∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇Th.s Đỗ Hoài Vũ 1.2. Tóm tắt lý thuyết 9+ Tìm điểm dừng thỏa hệ{f ′x = 0f ′y = 0. Giả sử tìm được:{x = x0y = y0+ Đặt A = f ′′x2(x0, y0);B = f′′xy(x0, y0);C = f′′y2(x0, y0). Tính 4 = AC −B2- Nếu 4 0 thì hàm z đạt cực đại khi A 0.- Nếu 4 = 0 thì chưa kết luận được (cần dùng định nghĩa).Ví dụ 1:Tìm cực trị của hàm z = f(x, y) = x3 + y3 − 3xy.Ví dụ 2:Tìm cực trị của hàm z = f(x, y) cho bởi phương trình ẩnx2 + y2 + z2 − 4x+ 12y + 2z − 8 = 0 (*), z > 0Giải:+ Tìm điểm dừng- Đạo hàm hai vế (*) theo x ta được : 2x+ 2zz′x − 4 + 2z′x = 0 (2*)- Đạo hàm hai vế (*) theo y ta được : 2y+2zz′y +12+2z′y = 0 (3*)Thay z′x = 0; z′y = 0 vào (2*) và (3*) ta được điểm dừng x = 2; y = −6.- Đạo hàm hai vế (2*) theo x ta được : 2 + 2(z′x)2 + 2zz′′x2 + 2z′′x2 = 0 (4*)- Đạo hàm hai vế (2*) theo y ta được : 2z′yz′x+2zz′′xy+2z′′xy = 0 (5*)- Đạo hàm hai vế (3*) theo y ta được : 2+2(z′y)2+2zz′′y2 +2z′′y2 = 0 (6*)Thay x = 2, y = −6 vào (*) ta được z = 6 (vì z > 0). Thay z = 6, z′x = z′y = 0 vào(4*),(5*),(6*) ta được:A = z′′x2(2,−6) = −17B = z′′xy(2,−6) = 0C = z′′y2(2,−6) = −17=⇒4 = AC −B2 = 149> 0.Vậy z đạt cực đại tại x = 2, y = −6 (vì A 0 với mọi (x, y) thuộc lân cậncủa (0, 0) (khác (0, 0)) nên theo định nghĩa z đạt cực tiểu tại (0, 0) và zct = 1Ví dụ 4:Tìm cực trị của hàm z = f(x, y) = x4y3.Giải:- Ta chỉ tìm được điểm dừng x = y = 0 và khi đó 4 = 0 nên chưa kết luận được.- Hiệu f(x, y) − f(0, 0) = x4y3 đổi dấu khi y đổi dấu nên theo định nghĩa z khôngđạt cực trị tại (0, 0).c) Cực trị có điều kiện∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇10 Phép tính vi phân hàm n biến Th.s Đỗ Hoài Vũ
Bài toán : Tìm cực trị của hàm z = f(x, y) thỏa điều kiện g(x, y) = 0.Giải
Phương pháp 1+ Đặt hàm L(x, y, a) = f(x, y) + ag(x, y)+ Tìm điểm dừng thỏa hệL′x = 0L′y = 0L′a = 0. Giả sử tìm được:x = x0y = y0a = a0+ Đặt A = L′′x2(x0, y0, a0); B = L′′xy(x0, y0, a0); C = L′′y2(x0, y0, a0).+ Xét dấu : 4 = Ah2 + 2Bhk + Ck2 . Với h,k thỏa:{h, k ∈ R;h2 + k2 > 0g′xh+ g′yk = 0.+ Kết luận :- Nếu 4 0 thì hàm z đạt cực tiểu (x0, y0).- Nếu 4 = 0 thì chưa kết luận được (cần dùng định nghĩa).Ví dụ 1:Tìm cực trị của hàm z = f(x, y) = 6− 4x− 3y thỏa điều kiện x2 + y2 = 1.Phương pháp 2Từ điều kiện g(x, y) = 0 nếu rút được duy nhất y = y(x) thì thay vào z = f(x, y(x)),sau đó dùng phương pháp tìm cực trị của hàm một biến để tìm cực trị của z.Ví dụ 2:Tìm cực trị của hàm z = ln |1 + x2y| thỏa điều kiện x− y − 3 = 0.1.3. Bài tập
Bài tập 1.1. Cho hàm z = z(x, y) biểu diễn bởi phương trình ẩn z2+ 2x=√y2 − z2.Tính x2z′x +1yz′y theo z.a) z2 b)2zc)1zd)z3.Bài tập 1.2. Cho hàm z = x3 − 2×2 + 2y3 + x− 8y. Hãy chọn khẳng định đúng?a) z có 4 điểm dừng. b) z không có điểm dừng.c) z có điểm dừng nhưng không có cực trị. d) z có hai cực đại và hai cực tiểu
Bài tập 1.3. Tìm cực trị của hàm số z = z(x,y) thỏa : x2+y2+z2−4x+6y+2z−2 = 0.Biết z 0.2) Đường Elip, Miền Elip- Phương trình tổng quát :x2a2+y2b2= 1.- Phương trình tham số :{x = a cos ty = b sin t; t ∈ R.- D1 là miền thỏa điều kiện:x2a2+ y2b2 13) Đường Parabol, Miền Parabola) Phương trình tổng quát : y = ax2 + bx+ c; a 6= 0- Tọa độ đỉnh x = −b2a, y = 4ac−b24a- D1 là miền thỏa điều kiện: y > ax2 + bx+ c- D2 là miền thỏa điều kiện: y ay2 + by + c- D2 là miền thỏa điều kiện: x 0.l)x2 + y2a2+z23a2= 1.m) y =√x2 + z2, y = 4.n) x2 + y2 + z2 = 2z, x2 + y2 = z2.p)x2a2+y2b2+z2c2= 1,x2a2+y2b2− z2c2= 0, z > 0.∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇Chương 4Tích phân mặt4.1. Tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2. Tích phân mặt loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.1. Tích phân mặt loại 14.1.1. Định nghĩa và ký hiệu∫∫Sf(x, y, z)d
S. Với S là mặt kín trong R34.1.2. Phương pháp tính tích phân mặt loại 1Đưa về tích phân bội 2 theo các công thức sau:a) S có phương trình z = z(x, y) :∫∫Sf(x, y, z)d
S =∫∫DOxyf(x, y, z(x, y))√1 + (z′x)2 +(z′y)2dxdy.Với DOxy là hình chiếu của mặt S lên mặt Oxyb) S có phương trình y = y(x, z) :∫∫Sf(x, y, z)d
S =∫∫DOxzf(x, y(x, z), z)√1 + (y′x)2 + (y′z)2dxdy.Với DOxz là hình chiếu của mặt S lên mặt Oxzc) S có phương trình x = x(y, z) :∫∫Sf(x, y, z)d
S =∫∫DOyzf(x(y, z), y, z)√1 +(x′y)2+ (x′z)2dxdy.Với DOyz là hình chiếu của mặt S lên mặt Oyz26 Tích phân mặt Th.s Đỗ Hoài Vũ
Ghi chú : Nếu mặt S hợp bởi n mặt S1, S2, …, Sn có phương trình khác nhauthì ∫∫Sf(x, y, z)d
S =∫∫S1f(x, y, z)d
S + …+∫∫Snf(x, y, z)d
S.Ví dụ1: Tínha) I =∫∫Sxyd
S.Với S là mặt có phương trình: z = 3x+ 4y thỏa điều kiện:(x, y) ∈ × .b) I =∫∫S(xy + y2 + yz)d
S.Với S là mặt có phương trình: x+ y + z = 1 thỏa điều kiện:(y, z) ∈ × .c) I =∫∫S(2xy + y2 + 2yz)d
S.Với S là mặt có phương trình: 2x+ y + 2z = 1 thỏa điều kiện:(x, z) ∈ ×
S. Với S là các mặt của hình hộp : × × .e) I =∫∫S(2xy + y2 + 2yz)d
S.Với S là các mặt của hình hộp : × × .f) I =∫∫S(4y3+ 2x+ z)d
S.Với S là mặt có phương trình:x2+y3+z4= 1, thuộc một phần tám thứ nhất.g) I =∫∫Sxd
S. Với S là các mặt của hình khối giới hạn bởi: x2 + y2 = 1, z = 1, z = 3.Ví dụ2: Tínha) I =∫∫S(3y2 + 3xz)d
S.Với S là mặt có phương trình: z = 3x thỏa điều kiện: x2 + y2 ≤ 1, x ≤ 0.b) I =∫∫S(2×2 − xy + 3)d
S.Với S là mặt có phương trình: y = 2x thỏa điều kiện: x2 + z2 ≤ 2x, z ≤ 0.∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇Th.s Đỗ Hoài Vũ 4.1. Tích phân mặt loại 1 27c) I =∫∫Sd
S.Với S là mặt có phương trình: x+ 2y + z = 0 thỏa điều kiện: y2 + z2 ≤ 6, y ≥ 4.d) I =∫∫Sd
S√1 + 4y2 + 16z2Với S là mặt có phương trình: x = y2 + 2z2 = 0 thỏa điều kiện: y2 + z2 ≤ 4, z ≤ |x|.Ví dụ3: Tínha) I =∫∫S(x2 − xz + 1)d
S.Với S là mặt có phương trình: z = 3x thỏa điều kiện:x2a2+y2b2≤ 1, x ≤ 0.b) I =∫∫S(2×2 − xy + 3)d
S.Với S là mặt có phương trình: 3x+ 4z − y = 0 thỏa điều kiện:x2a2+z2b2≤ 1, z ≤ 0, x ≤ 0.c) I =∫∫Syd
S.Với S là các mặt của hình khối giới hạn bởi:y2a2+z2b2≤ 1, z = 1, z = 3.d) I =∫∫S√1 + 4×2 + y2d
S.Với S là mặt có phương trình: z =√x2 + y2 thỏa điều kiện:x2a2+y2b2≤ 1, z ≤ 0.Ví dụ4: Tínha) I =∫∫S(x2 + y2 + z2)d
SVới S là mặt có phương trình: x2 + y2 + z2 = 1.b) I =∫∫Sd
S√1 + 4×2 + 4y2Với S là mặt có phương trình: z = x2 + y2, thỏa điều kiện: 0 ≤ z ≤ 4.c) I =∫∫S√1 + x2 + y2d
S.Với S là mặt có phương trình: 2z = x2 + y2, thỏa điều kiện: x2 + y2 + z2 ≤ 4z.∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇28 Tích phân mặt Th.s Đỗ Hoài Vũd) I =∫∫S√2− x2 − y2d
S.Với S là mặt có phương trình: x2 + y2 + z2 = 2, thỏa điều kiện: z ≥√x2 + y2.4.1.3. Ứng dụng của tích phân mặt loại 1.a) Diện tích mặt S ∫∫Sd
Sb) Khối lượng mặt S không đồng chất
Xét mặt S làm bởi vật liệu không đồng chất có khối lượng riêng biểu diễn bởihàm liên tục ρ(x, y, z). Khi đó khối lượng của S được tính theo công thức:m
S =∫∫Sρ(x, y, z)dxdyc) Tọa độ trọng tâm của mặt S không đồng chất
Xét mặt S làm bởi vật liệu không đồng chất có khối lượng riêng biểu diễn bởihàm liên tục ρ(x, y, z). Khi đó tọa độ trong tâm G của S trong hệ tọa độ Oxyz đượctính bởi công thứcx
G =∫∫∫Sxρ(x, y, z)dxdydzm
S; y
G =∫∫∫Syρ(x, y, z)dxdydzm
S; z
G =∫∫∫Szρ(x, y, z)dxdym
SVí dụ: Tínha) Diện tích mặt S có phương trình: x+ 3 = 2y thỏa : y2 ≥ x2 + z2.b) Diện tích mặt S có phương trình: z =√x2 + y2 thỏa : x2 + y2 ≤ 4x.c) Diện tích mặt S có phương trình: 2x− 2y + z = 3 thỏa : x24+y21≤ 1.d) Diện tích mặt S có phương trình:√2x− y + z = 3 thỏa : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x+ y ≤ 1.e) Khối lượng mặt S có phương trình: z =x2 + y22thỏa : 0 ≤ z ≤ 2.Biết hàm khối lượng riêng là ρ(x, y, z) = z.f) Tọa độ trọng tâm mặt S có phương trình: z = 2− x2 + y22thỏa : z ≥ 0.4.2. Tích phân mặt loại 24.2.1. Định nghĩa và ký hiệu
I =∫∫SP (x, y, z)dydz +Q(x, y, z)dxdz +R(x, y, z)dxdy. Với S là mặt kín trong R3∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇Th.s Đỗ Hoài Vũ 4.2. Tích phân mặt loại 2 294.2.2. Phương pháp tính tích phân mặt loại 2a) Đưa về tích phân bội hai:+ Tính các tích phân :I1 =∫∫S: x=x(y,z)P (x, y, z)dydz = ±∫∫DOyz
P (x(y, z), y, z)dydz
I2 =∫∫S: y=y(x,z)Q(x, y, z)dxdz = ±∫∫DOxz
Q(x, y(x, z), z)dxdz
I3 =∫∫S: z=z(x,y)R(x, y, z)dxdz = ±∫∫DOxy
R(x, y, z(x, y))dxdz+ Kết luận : I = I1 + I2 + I3.Chú ý:I1 =∫∫DOyz
Pdydz. Nếu góc giữa véc tơ pháp tuyến hợp và trục Ox nhọn.−∫∫DOyz
Pdydz. Nếu góc giữa véc tơ pháp tuyến hợp và trục Ox tù.0 Nếu véc tơ pháp tuyến vuông góc và trục Ox.I2 =∫∫DOxz
Qdxdz. Nếu góc giữa véc tơ pháp tuyến hợp và trục Oy nhọn.−∫∫DOxz
Qdxdz. Nếu góc giữa véc tơ pháp tuyến hợp và trục Oy tù.0 Nếu véc tơ pháp tuyến vuông góc và trục Ox.I3 =∫∫DOxy
Rdxdy. Nếu góc giữa véc tơ pháp tuyến hợp và trục Oz nhọn.−∫∫DOxy
Rdxdy. Nếu góc giữa véc tơ pháp tuyến hợp và trục Oz tù.0 Nếu véc tơ pháp tuyến vuông góc và trục Ox.Ghi chú : Nếu mặt S hợp bởi n mặt S1, S2, …, Sn có phương trình khác nhau thìtính tích phân I trên từng mặt Si sau đó cộng kết quả lại.∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇30 Tích phân mặt Th.s Đỗ Hoài Vũ
Ví dụ2: Tínha) I =∫∫Sy2zdxdy + yx2dxdz + (z3 + 2y)dydz. Với S là mặt hợp bởi các mặt
S1 : x2 + y2 = 4 (lấy phía ngoài), S2 : z = x2 + y2 (lấy phía trên).b) I =∫∫S(y − z)dydz + (z − x)dzdx+ (x2 + y2)dxdy). Với S là mặt dưới của mặtz2 = x2 + y2 thỏa điều kiện : 1 ≤ z ≤ 2.4.3. Bài tập∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇
Phép tính vi phân hàm n biến; tích phân bội hai; tích phân bội ba; tích phân mặt;… là những nội dung chính mà “Bài giảng Toán cao cấp A3” hướng đến trình bày. Hy vọng tài liệu là nguồn thông tin hữu ích cho quá trình học tập và nghiên cứu của các bạn.
ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN TỔ BỘ MÔN TOÁNBÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A3 Dùng cho bậc Đại học Biên soạn: Th.s Đỗ Hoài Vũ Học kỳ 3. Năm học: 2010-2011Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Chương 1. Phép tính vi phân hàm n biến 3 1.1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1. Các cách biểu diễn hàm n biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2. Đạo hàm riêng của hàm 2 biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.3. Đạo hàm riêng cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.4. Đạo hàm hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.5. Vi phân cấp n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.6. Công thức Taylor của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.7. Cực trị của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Chương 2. Tích phân bội hai 12 2.1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.1. Bảng nguyên hàm hàm số một biến. . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2. Phương pháp tính tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.3. Cách vẽ một số đường cơ bản trong mặt phẳng tọa độ Oxy. . 13 2.2. Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1. Định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.2. Một số tính chất của tích phân bội hai . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.3. Phương pháp tính tích phân bội hai . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.4. Phương pháp đổi biến trong tích phân bội hai. . . . . . . . . . 15 2.2.5. Ứng dụng của tích phân bội hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Chương 3. Tích phân bội ba 19 3.1. Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.1. Định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.2. Một số tính chất của tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.3. Phương pháp tính tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.4. Phương pháp đổi biến trong tích phân bội ba. . . . . . . . . . 20 3.1.5. Ứng dụng của tích phân bội ba. . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Mục lục Th.s Đỗ Hoài Vũ
Chương 4. Tích phân mặt 25 4.1. Tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.1.1. Định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.1.2. Phương pháp tính tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . . . . . . 25 4.1.3. Ứng dụng của tích phân mặt loại 1. . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2. Tích phân mặt loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.1. Định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.2. Phương pháp tính tích phân mặt loại 2 . . . . . . . . . . . . . 29 4.3. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32∇∞∇∞∇∞∇∞∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇∞∇∞∇∞∇∞∇Chương 1Phép tính vi phân hàm n biến 1.1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1. Kiến thức chuẩn bị Cần nhớ bảng đạo hàm và các quy tắc đạo hàm của hàm một biến số.1.2. Tóm tắt lý thuyết1.2.1. Các cách biểu diễn hàm n biến -Biểu diễn dạng bảng (không xét trong bài giảng). – Biểu diễn dạng biểu thức.Ví dụ1: x+y
Xem thêm:
Hàm hai biến z = f (x, y) = x -Biểu diễn dạng phương trình ẩn.Ví dụ 2:Hàm hai biến z=z(x,y) cho bởi phương trình ẩn x2 + y 2 + z 2 − 2xz = 0 – Biểu diễn dạng hàm hợp.Ví dụ 3:Hàm hai biến z=z(x,y) biểu diễn thông qua u,v u = u(x, y) z = z(u, v); v = v(x, y)1.2.2. Đạo hàm riêng của hàm 2 biến Bài toán : Cho hàm hai biến z=z(x,y). Tìm zx0 ; zy0 Giải- Nếu z biểu diễn dạng biểu thức thì khi đạo hàm theo biến nào sẽ coi biến còn lại
Cảm ơn bạn đã đọc bài viết Toán cao cấp a3 bài giảng và bài tập, bài giảng toán cao cấp a3 . Đừng quên truy cập Chaolong TV kênh trực tiếp bóng đá số 1 Việt Nam hiện nay để có những phút giây thư giãn cùng trái bóng tròn !