Bài Giảng Toán Cao Cấp 1

Thuật toán tìm hạng của ma trận• Bước 1. Đưa ma trận cần tìm hạng về bậc thang.• Bước 2. Số dòng khác 0 của ma trận bậc thang chính là hạng của ma trận đã cho.

Bạn đang xem: Chương 1: Ma Trận Và Định Thức

11 trang | Chia sẻ: truongthinh92 | Lượt xem: 39899 | Lượt tải: 2

Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng Toán cao cấp – Chương 1: Ma trận, định thức, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Aa a a             • Các số ija được gọi là các phần tử của A ở dòng thứ i và cột thứ j . • Cặp số ( , )m n được gọi là kích thước của A. • Khi 1m  , ta gọi: 11 12 1( … )n
A a a a là ma trận dòng. ØChương 1. Ma Trận, Định Thức• Khi 1n  , ta gọi 111…ma
Aa           là ma trận cột. • Khi 1m n  , ta gọi: 11( )A a là ma trận gồm 1 phần tử. • Ma trận (0 )ij m n
O có tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi là ma trận không. • Tập hợp các ma trận A được ký hiệu là ,( )m n
M ¡ , để cho gọn ta viết là ( )ij m n
A a  . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức• Ma trận vuông § Khi m n , ta gọi A là ma trận vuông cấp n . Ký hiệu là ( )ij n
A a . § Đường chéo chứa các phần tử 11 22, ,…,nna a a được gọi là đường chéo chính của ( )ij n
A a , đường chéo còn lại được gọi là đường chéo phụ. 2 35 87 42466 57311 0            Ø Chương 5. Đại số tuyến tính• Các ma trận vuông đặc biệt § Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận chéo. 1 0 00 5 00 0 0          § Ma trận chéo cấp n gồm tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị cấp n . Ký hiệu là n
A a và ( )ij
B b được gọi là bằng nhau, ký hiệu A B , khi và chỉ khi chúng cùng kích thước và , ,ij ija b i j  . VD 1. Cho 12x y
Az t      và 1 0 12 3Bu      . Ta có: 0; 1; 2; 2; 3A B x y z u t       . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức 1.2. Các phép toán trên ma trận a) Phép cộng và trừ hai ma trận Cho hai ma trận ( )ij m n
A a và ( )ij m n
B b , ta có: ( ) .ij ij m n
A B a b   VD 2. 1 0 2 2 0 2 1 0 42 3 4 5 3 1 7 0 3                                ; 1 0 2 2 0 2 3 0 02 3 4 5 3 1 3 6 5                                 . Nhận xét Phép cộng ma trận có tính giao hoán và kết hợp. ØChương 1. Ma Trận, Định Thức b) Phép nhân vô hướng Cho ma trận ( )ij m n
A a  và   ¡ , ta có: ( ) .ij m n
A a và ( )kj n p
B b , ta có: ( ) .ik m p
AI A I A  , với ,( )m n
A M ¡ . VD 7. Cho 1 0 12 2 03 0 3A             và 1 2 10 3 12 1 0B             . Thực hiện phép tính: a) AB ; b) BA. ØChương 1. Ma Trận, Định Thức
A a và *p  ¥ , ta có: pn n
I I và 0 1 1, ( ) ( )p p pn
A I A A A A A    (lũy thừa ma trận). ØChương 1. Ma Trận, Định Thức d) Phép chuyển vị Cho ma trận ( )ij m n
A a . Khi đó, ( )Tji n m
A a ( 2)m  . Các phép biến đổi sơ cấp (PBĐSC) dòng e trên A là: 1) 1( ) :e Hoán vị hai dòng cho nhau i kd d
A A  . 2) 2( ) :e Nhân 1 dòng với số 0  , i id d
A A  . 3) 3( ) :e Thay 1 dòng bởi tổng của dòng đó với λ lần dòng khác, i i kd d d
A A   . Chú ý 1) Trong thực hành ta thường làm i i kd d d
A B   . 2) Tương tự, ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên cột của ma trận. ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 15. Dùng PBĐSC trên dòng để đưa ma trận 2 1 11 2 33 1 2A             về 1 2 30 1 7 / 50 0 0B           . Giải. 1 21 2 32 1 13 1 2d d
A             2 2 13 3 1231 2 30 5 70 5 7d d dd d d              ØChương 1. Ma Trận, Định Thức3 3 22 2151 2 30 1 7 / 50 0 0d d dd d
A M ¡ được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận ( )n
B M ¡ sao cho: .n
AB BA I  • Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A. Ký hiệu 1B A . Khi đó: 1 1 1 1; ( ) .n
A A AA I A A      Chú ý Nếu B là ma trận nghịch đảo của A thì B là duy nhất và A cũng là ma trận nghịch đảo của B . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 17. 2 51 3A      và 3 51 2B        là hai ma trận nghịch đảo của nhau vì 2AB BA I  . Chú ý 1) Nếu ma trận A có 1 dòng (hay cột) bằng 0 thì không khả nghịch. 2) 1 1 1( )AB B A   . 3) Nếu 0ac bd  thì: 11. .a b c bd c d aac bd               ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 18. Cho 2 51 3A      và 2 13 2B     . Thực hiện phép tính: a) 1( )AB  ; b) 1 1B A  . Giải. a) Ta có: 19 1211 7AB      và 19.7 11.12 1  1119 12 7 12( )11 7 11 19AB                 . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức b) Ta có: 1 12 1 3 5 7 123 2 1 2 11 19B A                                . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức§2. ĐỊNH THỨC 2.1. Định nghĩa a) Ma trận con cấp k Cho   ( )ij nn
A a M  ¡ . • Ma trận vuông cấp k được lập từ các phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột của A được gọi là ma trận con cấp k của A. • Ma trận ij
A M ¡ , ký hiệu det
A hay A , là 1 số thực được định nghĩa: § Nếu 11( )A a thì 11det
A a . § Nếu 11 1221 22a a
Aa a      thì 11 22 12 21det
A a a a a  . § Nếu ( )ij n
A a (cấp 3n  ) thì: 11 11 12 12 1 1det …n n
A a A a A a A    trong đó, ( 1) deti jij ij
A M  và số thực ij
A được gọi là phần bù đại số của phần tử ija . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức11 12 13 11 1221 22 23 21 2231 32 33 31 32a a a a aa a a a aa a a a a(Tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét liền trừ đi tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét đứt). 2) Tính 11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a. Chú ý 1) det 1, det 0n n
I O  . 11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a ahoặcØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 2. Tính định thức của các ma trận sau: 3 21 4A      , 1 2 13 2 12 1 1B           . Giải. 33.4d21.( 2)t 41e 14A     . det 1.( 2).1 2.1.2 3.1.( 1)B        2.( 2)( 1) 3.2.1 1.1.1 12.         ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 3. Tính định thức của ma trận: 0 0 3 14 1 2 13 1 0 22 3 3 5A              . Giải. Ta có: 11 12 13 14det 0. 0. 3. ( 1).A A A A A     1 3 1 413 143( 1) det ( 1) det
M M     4 1 1 4 1 23 3 1 2 3 1 0 492 3 5 2 3 3   . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức 2.2. Các tính chất cơ bản của định thức Cho ma trận vuông   ( )ij nn
A a M  ¡ , ta có các khai triển Laplace của định thức A: a) Khai triển theo dòng thứ i 1 1 2 21det … .ni i i i in in ij ijj
A a A a A a A a A     Trong đó, ( 1) det( )i jij ij
A M  . b) Khai triển theo cột thứ j 1 1 2 21det … .nj j j j nj nj ij iji
Các kết quả đặc biệt cần nhớ 1) Dạng tam giác 11 12 1 1122 2 21 2211 221 2… 0 … 00 … … 0… …. … … … … … … …0 0 … …nnnnnn n n nna a a aa a a aa a aa a a a  2) Dạng tích: det( ) det .det .AB A B 3) Dạng chia khối det .detn
A BA CO CMK K KM, với , , ( )n
B 1 2 3 43 2 8 1 280.ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 16. Tính 1 1 1 2 1 4det 2 0 3 2 1 31 2 3 1 2 1C                        . Giải. Ta có: 1 1 1 2 1 4det 2 0 3 2 1 3 31 2 3 1 2 1C  . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 17. Tính 1 1 1 2 1 4 3 1 4det 2 0 3 2 1 3 0 1 2 .1 2 3 1 2 1 1 2 1TD                                            Giải. Ta có: 1 1 1 2 1 4 3 1 4det 2 0 3 2 1 3 0 1 2 211 2 3 1 2 1 1 2 1D  . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức Giải. Chuyển vị định thức, ta được: Phương trình 1 201 2x xx x  VD 18. Phương trình 1 0 01 0 002 23 8 2xxx xx có nghiệm là: A. 1x   ; B. 1x  ; C. 1x  ; D. 12xx    . 2 2( 1)( 4) 0x x A     . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức 2.4. Ứng dụng định thức tìm ma trận nghịch đảo a) Định lý Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi: det 0.A VD 19. Giá trị của tham số m để ma trận 21 01 00 1 1 1Tmm m
A m mm m m  Vậy A khả nghịch 0det 01m
A Bm     . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức b) Thuật toán tìm A–1 • Bước 1. Tính det
A. Nếu det 0A thì kết luận A không khả nghịch. Ngược lại, ta làm tiếp bước 2. • Bước 2. Lập ma trận   , ( 1) deti jij ij ijn
A A M  . Suy ra ma trận phụ hợp (adjunct matrix) của A là:   .Tij nadj
A A     • Bước 3. Ma trận nghịch đảo của A là: 1 1 . .det
A adj
AA  ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 20. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của: 1 2 11 1 23 5 4A          . Giải. Ta có: det 0A A  không khả nghịch. VD 21. Cho ma trận 1 2 10 1 11 2 3A          . Tìm 1A . Giải. Ta có: det 2 0A A   khả nghịch. ØChương 1. Ma Trận, Định Thức11 12 131 1 0 1 0 11, 1, 1,2 3 1 3 1 2A A A     21 22 232 1 1 1 1 24, 2, 0,2 3 1 3 1 2A A A     31 32 332 1 1 1 1 21, 1, 1.1 1 0 1 0 1A A A     1 4 11 2 11 0 1adj
A             11 4 111 2 1 .21 0 1A             ØChương 1. Ma Trận, Định Thức 2.5. Hạng của ma trận a) Định thức con cấp k Cho ma trận  ij m n
A a  . Định thức của ma trận con cấp k của A được gọi là định thức con cấp k của A. Định lý Nếu ma trận A có tất cả các định thức con cấp k đều bằng 0 thì các định thức con cấp 1k  cũng bằng 0. b) Hạng của ma trận Cấp cao nhất của định thức con khác 0 của ma trận A được gọi là hạng của ma trận A. Ký hiệu là ( )r A . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức Chú ý • Nếu  ij m n
A             có hạng bằng 3 là: A. 1m  ; B. 1m  ; C. 1m   ; D. 0m  . Giải. Ta có: 3 2( ) 3 det 0 01 1r A A m D      . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 23. Cho 1 3 4 22 5 1 43 8 5 6A            . Tìm ( )r A . Giải. Biến đổi 2 2 13 3 1231 3 4 20 1 7 00 1 7 0d d dd d d
A                3 3 21 3 4 20 1 7 0 ( ) 20 0 0 0d d d r A              . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 24. Cho 2 1 1 30 1 0 00 1 2 00 1 1 4A               . Tìm ( )r A . Giải. Biến đổi: 2 1 1 30 1 0 00 0 2 00 0 1 4A              2 1 1 30 1 0 0.0 0 2 00 0 0 8               Vậy ( ) 4r A  . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức

33 trang | Chia sẻ: thanhthanh29 | Lượt xem: 1166 | Lượt tải: 0

Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Bài giảng Toán cao cấp – Chương 2: Ma trận – định thức, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CHƯƠNG 2MA TRẬN – ĐỊNH THỨC§1. Ma trận 1.1. Các khái niệm 1.2. Các phép toán §2. Định thức 2.1. Định nghĩa 2.2. Các tính chất của định thức§3. Ma trận nghịch đảo§4. Hạng của ma trận§1. Ma trận1.1. Các khái niệm cơ bản
Ma trận cấp m´n là một bảng, gồm m´n số được xếp thành m dòng và n cột, kí hiệu:Am´n = hoặc Am´n=(aij)aij là phần tử nằm trên dòng i cột j của ma trận AHai ma trận bằng nhau là hai ma trận cùng cấp và có các phần tử tương ứng bằng nhau, ghi A=BMa trận vuông cấp n là ma trân có n dòng và n cột. Kí hiệu AnĐương chéo: khi A là ma trận vuông, các phần tử aii “i tạo thành đường chéo chính, các phần tử an1, an-1 2, …, a1n tạo thành đường chéo phụ. Ma trận tam giác là ma trận vuông có tất cả các phần tử aij=0 khi “i>j hoặc khi “i2: An=(aij) Þdet
A=a11det
M11-a12det
M12+…+(-1)1+na1ndet
M1n (1)TD: Tính các định thức=-2; =(-2+0-6)-(3+8+0)=-19=-14Þ=-142.2. Các tính chất
TC1: det
An=a11det
M11-a21det
M21+…+(-1)n+1an1det
Mn1 (2)TC2: Đổi chỗ hai dòng(hai cột) cho nhau thì định thức đổi dấu.TC3: Định thức có hai dòng(cột) giống nhau thì bằng 0.TC4: Gọi phần bù đại số của phần tử aij là: Aij =(-1)i+j det
Mij (Mij là ma trận con bù của aij), ta có: (3) (4)Hệ quả: Khai triển định thức theo dòng i
Khai triển định thức theo cột j
TC5: Nếu tất cả các phần tử của một dòng(cột) là tổng của hai số hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng của hai định thức.TC6: Thừa số chung của một dòng(cột) có thể đưa ra ngoài định thức.TD: TC7: Định thức có một dòng(cột) bằng 0, thì bằng 0TC8: Lấy một dòng(cột) nhân với một số rồi cộng tương ứng với một dòng (cột) khác thì định thức không đổi
TC9: det
AB = det
A.det
BTC10: det
A=det
AT2.3. Cách tính định thứcĐịnh thức cấp 2:A = , từ định nghĩa Þ |A|=a11a22-a12a21(Tích các phần tử trên đường chéo chính trừ tích các phần tử trên đường chéo phụ)Định thức cấp 3A = |A|=(a11a22a33+a21a32a13+a12a23a31)-(a13a22a31+a21a12a33+ + a23a32a11)Sơ đồ trực quan: -hoặc ta bổ sung thêm cột 1, cột 2 bên cạnh định thức
TD: =-18.Định thức cấp n (n >3)a/ Khai triển định thức theo dòng hoặc cột và kết hợp các tính chất khác.TD: Tính định thức: D=Khai triển theo cột 3, D=1. =-13Chú ý: Định thức của ma trận tam giác=a11a22 … annb) Biến đổi về định thức tam giác
TD: Tính D = = =(a+2x)=(a+2x) =(a+2x)(a-x)=(a + 2x)(a – x)2.D== = = = -1=116§3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢOĐịnh nghĩa1:Cho ma trận vuông A cấp n, nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho AB = BA = In thì ta nói A khả đảo và gọi B là ma trận nghịch đảo của A, kí hiệu A-1.Vậy AA-1 = A-1A = In.Định nghĩa 2: Ma trận vuông A gọi là không suy biến nếu det
A ¹ 0.Định lí 1: Ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo (khả đảo) khi và chỉ khi A không suy biến.Khi đó A-1 = (Aij là phần bù đại số của aij)Định lí 2: 1/ Nếu A không suy biến thì (A-1)-1 = A2/ Nếu A, B vuông cùng cấp không suy biến thì A.B có ma trận nghịch đảo: (AB)-1 = B-1A-1.Có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để tìm ma trận nghịch đảo
Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận ghép về , khi đó B=A-1.TD: Tìm A-1 với A=Þ ÞÞ Vậy A-1 = TD: Cho A là ma trận vuông không suy biến. Xét các phương trình ma trận:Ÿ AX = B Û X = A-1.B(1)Ÿ XA = B Û X = B.A-1(2)§3. HẠNG CỦA MA TRẬN3.1. Định nghĩa hạng của ma trận

Xem thêm: Giải Tập Bản Đồ Địa Lý 8 Bài 25, Giải Tập Bản Đồ Địa Lí 8 Hay Nhất

Hạng của ma trận Amxn là cấp cao nhất của định thức con khác không trong A, kí hiệu là r(A).Vậy: 0£r(A)£ min(m,n)Quy ước: Nếu A là ma trận không, quy ước r(A)=0 Hệ quả: r(A)=r(AT)3.2. Cách tìm hạng của ma trậna/ Tìm r(A) bằng định nghĩaĐịnh lí: Nếu trong ma trận A tất cả các định thức con cấp k đều bằng 0 thì tất cả các định thức con cấp k+1 cũng bằng 0.Hệ quả: Nếu A có tất cả các định thức con cấp k bằng 0 thì r(A)Bai giang toan A1.docx